Теория относительности построена на математической ошибке и поэтому не имеет смысла.

Аннотация. Неевклидово пространство Минковского имеет неустранимое внутреннее противоречие. Настоящая работа объясняет эту ошибку, причиной которой оказывается то, что мнимая единица i на самом деле не число, а знак действия над вектором. Мнимость выражается не длиной вектора, а его направлением. В результате выясняется, что не существует мнимых расстояний.

Рецензируемый журнал «Physics essays» принял к публикации мою работу на английском языке.

Здесь я даю вольный пересказ на русском.

Моё авторство доказано тем, что в журнале и здесь, в блоге, одинаковый почтовый адрес.

Андрей Юрьевич Нечитайло,

Краснодар.

a.y.nechitaylo@gmail.com

Великого физика спросили:
- Скажите, пожалуйста, а какова высота Пизанской Башни?
Той самой, которая в итальянском городе стоит, наклонившись, уже больше полтысячи лет и не падает.
- Три. - ответил ученый.
Хм… Непонятно. 3 метра мало, 3 километра много.
- Уточните, пожалуйста, единицу измерения.
- Градусы отклонения от вертикали.

И при чем здесь теория относительности? Сейчас буду объяснять. Простым языком, не обещая строгих формулировок и, конечно, с картинками. Но не снимайте с полки толстый справочник по высшей математике, он не понадобится, школьных знаний вполне хватит.

Зачем всё это было нужно?

Сначала коротко история, с чего всё началось. Ученых давно интересовал вопрос что такое свет. В 19 веке, казалось бы, всё стало ясно, геометрическая оптика множеством опытов показала, что свет распространяется в пространстве как волна по воде, как звук в воздухе. Свет так же обходит препятствия, преломляется, отражается, волны складываются с образованием стоячих волн и т.д. Казалось, со светом всё ясно и оставалось только в опыте найти ту среду, колебания которой и есть световая волна. Этой среде, носителю световых волн, заранее дали название «светоносный эфир».

Больше всех известен опыт Майкельсона и Морли, который и привел к созданию теории относительности. Идея опыта [A. A. Michelson and E. W. Morley, Am. J. Sci. 34, (1887), стр. 333] такая: планета Земля вращается и вокруг своей оси и вокруг Солнца и поэтому поверхность планеты движется сквозь эфир со скоростью примерно 30 км/с. Этот набегающий поток эфира, эфирный ветер, должен сносить свет в сторону, как ветер приносит звук издалека, когда без ветра его не услышать. В опыте разделили луч света на две части, одну пустили вдоль предполагаемого эфирного ветра, другую поперек и после этого обе части свели на одном экране.

Рис. 1. Схема опыта Майкельсона-Морли.

Свет от источника S падает на зеркало M₁ и частично отражается, а частично проходит сквозь него. Первый из лучей отражается от зеркала M₂ и, пройдя обратно сквозь M₁, приходит на экран D. Второй луч отражается от M₃, затем снова от M₁ и тоже попадает на экран D, где, взаимодействуя с первым лучом, создаёт картину полос интерференции. Если есть отклонение света эфирным ветром, тогда картина сложения волн будет меняться при повороте Земли от суточного и годичного вращения. Конечно, эффект очень слабый (скорость эфирного ветра в 10⁴ раз меньше скорости света), но и прибор построили, как считали, достаточно чувствительный чтобы отклонение заметить. Однако, за долгое время наблюдений на экране ничего не изменилось, что было совершенно неожиданно и непонятно. Получается, эфирного ветра нет? А есть ли сам эфир?

Для объяснения результатов опыта были выдвинуты разные предположения. Одним из них был постулат А. Эйнштейна из работы «On The Electrodynamisc Of Moving Bodyes» о том, что скорость света в вакууме есть постоянная величина c во всех инерциальных системах отсчета [H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski, H. Weyl, and A. Sommerfeld, The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity (Courier Corporation, New York, NY, 1952), стр. 35]. В опыте есть две инерциальные системы отсчета, в одной из них покоится экспериментальная установка, другая неподвижно связана со светоносным эфиром. В каждой системе мы предположим наличие наблюдателя, измеряющего расстояния и время. Рассмотрим ход лучей в опыте с обоих точек зрения.

Рис. 2. Измерение хода лучей.

Пусть экспериментальная установка движется сквозь эфир справа налево, её скорость v_e. Свет, излученный в т. a, с точки зрения наблюдателя-экспериментатора (индексы e) сносится эфирным ветром вправо и отражается от зеркала M в точке b₁. Наблюдатель, покоящийся в эфире (индексы a), никакого сноса не видит, для него свет проходит перпендикулярно зеркалу расстояние длины ab. По теореме Пифагора (ab₁)²=(ab)²+(bb₁)². По постулату Эйнштейна скорость света для обоих наблюдателей одинакова и равна c. Время между вспышкой и отражением света от зеркала назовем t_e для экспериментатора и t_a для эфира, тогда ab=ct_a, bb₁=v_et_e, ab₁=ct_e. Из (ct_e)²=(ct_a)²+(v_et_e)² получим (ct_a)²=(ct_e)²-(v_et_e)² и 

$t_a=t_e\sqrt{1-\frac{v_e^2}{c^2}}$. (1)

Таким образом, время, прошедшее между вспышкой и отражением света для эфирного наблюдателя меньше, чем для экспериментатора.

Изобразим это графически в системе координат на евклидовой плоскости:

Рис. 3. График взаимного движения наблюдателей.

Ось x системы координат изображает расстояние, измеренное экспериментатором, ось t — измеренное им время. Вспышка света произошла в начале координат O, а отражение от зеркала в точке R. Расстояние, пройденное эфирным наблюдателем мимо экспериментатора со скоростью v_e от вспышки до отражения, выражено проекцией x_e, за время t_e. Это по измерениям экспериментатора. А что видит эфирный наблюдатель? Его положение в собственной системе координат не меняется, поэтому в ней его график по оси расстояний не отклоняется, лежит на его оси времени и этот график выражен вектором Ot_a. Таким образом, на векторе Ot_a лежит ось времени системы координат эфирного наблюдателя. Значит длина вектора Ot_a равна времени t_a, измеренному эфирным наблюдателем от вспышки до отражения.

Здесь получилось противоречие: по выражению (1) t_a должно быть меньше t_e, а по рисунку получилось наоборот, Ot_a длиннее Ot_e.

Герман Минковский в 1908 году предложил геометрическую модель для таких рассуждений, исправляющую противоречие. Её называют пространством Минковского. Оно отличается от нашего, евклидова пространства, в котором мы живем только знаком «-» вместо «+» в теореме Пифагора - в пространстве Минковского квадрат гипотенузы равен не сумме, а разности квадратов катетов. На эту тему написано множество книг, но нам нужно популярное объяснение. Предлагаю разбираться по учебнику А.А. Сазанова «Четырехмерный мир Минковского.» (М., 1988).

Если на рис. 3 считать Ot_a²=Ot_e²-Ox_e², то есть считать этот график нарисованным в пространстве Минковского, то из (ct_a)²=(ct_e)²-x_e² при x_e=v_et_e получится требуемое соотношение (1) и t_a < t_e .

Но постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света при первом взгляде выглядит чепухой: представьте себе, мимо Вас проезжает поезд со скоростью 100 км/ч. Если Вы поедете за ним в автомобиле со скоростью 40 км/ч, то скорость поезда относительно Вас будет уже меньше, 100-40=60 км/ч, а если автомобиль разгонится до 100 км/ч, то Вы будете ехать рядом с поездом и он относительно Вас будет неподвижным. А тут Вам говорят что не важно, стоите ли Вы или едете за поездом или едете ему навстречу, всё равно его скорость относительно Вас будет 100 км/ч (+ или -) при любой Вашей скорости. Как же с этим постулатом удалось объяснить опыт? Если скорость света не зависит от скорости наблюдателя, тогда интерференционная картина на экране и не должна меняться от изменения движения наблюдателя сквозь эфир.

Для тех, кому сложными покажутся графики и рассуждения на них, можно сразу перейти в раздел «Противоречие 1».

Как скорость объекта остаётся постоянной для подвижного наблюдателя?

Пусть два наблюдателя измеряют скорость одного и того же поезда. Один из них неподвижный, назовем его Домоседом, а второй, Бродяга, вместе с измерительным прибором едет в автомобиле вслед за поездом со скоростью 40 км/ч. Давайте нарисуем графики их движения в пространстве Минковского с точки зрения теории относительности (рис. 4).

Ось координат x₁ это расстояния в км. Ось t₁ это время в часах. Обе оси Домоседа.

Рис. 4. Диаграмма Минковского.

Поезд за 1 час прошел 100 км из точки O в точку A (зеленая линия). Бродяга за тот же час проехал 40 км из O в B (красная линия). Домосед за 1 час остался по оси x₁ на месте, а время по его часам (синяя линия ) изменилось от O до E.

Но у Бродяги есть его собственная система координат — линейка, закрепленная на борту его автомобиля точкой 0 и часы на руке - и в ней он никуда не двигался, поэтому отрезок OB это, как и для Домоседа, ось координат собственного времени Бродяги. Назовем эту ось t₂ (рис. 5).

Рис. 5. Диаграмма Минковского с осями координат обоих наблюдателей.

Теперь угол между осями ОA и ОВ отложим ниже ОA и полученную ось назовем осью расстояний x₂ Бродяги. Оси x₂ и t₂ образуют косоугольную систему координат.

А теперь посмотрим где будет поезд с точки зрения Бродяги. Для этого в системе координат Бродяги, параллельно уже её осям, опустим проекции из точки А на оси координат x₂ и t₂, это отрезки AF и AG на рисунке 6.

Рис. 6. Диаграмма Минковского с проекциями.

Отрезки OF и OG это, по измерениям Бродяги, расстояние, которое прошел поезд и время, когда он двигался. Отрезки OD и OE это расстояние, которое прошел поезд и его время, но по измерениям Домоседа.

Отрезки OD и OE по рисунку равны, поэтому Домосед считает что скорость поезда равна 100 км/ч. Но соотношение отрезков OF и OG такое же, вот почему и для Бродяги скорость поезда тоже 100 км/ч.

Бродяга догоняет поезд, но видит, что поезд уходит от него с той же скоростью, что и от неподвижного Домоседа.

Так происходит потому, что подвижному Бродяге мы, против привычки, дали его собственные оси координат времени и расстояния. Его время идет не так, как у неподвижного Домоседа и его расстояния отличаются от тех, что измеряет Домосед, поэтому и скорости по его системе координат другие. Все, кроме скорости поезда.

Чтобы посчитать соотношения длин отрезков давайте упростим картинку (рис. 7).

Рис. 7. Диаграмма Минковского с длинами.

Считать проще в целых числах, поэтому, чтобы уравнять масштабы по осям, на вертикальной оси у 1 поставим длину 100.

Длина в пространстве Минковского это разность квадратов катетов, а не сумма, как у нас с Евклидом и Пифагором. Формулу расстояния разные авторы определяют и как r²=t²-x² и как r²=x²-t², это вопрос соглашения, от этого только всюду меняются знаки, но не суть дела. Давайте здесь примем вариант x²-t². Считаем:

$OB=\sqrt{O{C}^2-O{E}^2}=\sqrt{{40}^2-{100}^2}=\sqrt{1600-10000}=\sqrt{-8400}=92\sqrt{-1}=92i$

О роли i поговорим позже, а сейчас посмотрим на длину 92. Это время, которое прошло для Бродяги, когда для Домоседа прошло 100 единиц.

Если бы Бродяга ехал быстрее и прибыл в точку K

$OK=\sqrt{O{P}^2-O{E}^2}=\sqrt{{80}^2-{100}^2}=\sqrt{6400-10000}=\sqrt{-3600}=60\sqrt{-1}=60i$

тогда для него прошло бы время не 92, а 60 единиц. Чем быстрее двигается наблюдатель, тем медленнее идёт его время с точки зрения неподвижного коллеги.

А время в поезде?

$OA=\sqrt{O{D}^2-O{E}^2}=\sqrt{{100}^2-{100}^2}=0$

В поезде часы остановились. По теории относительности, время в поезде не идёт вовсе.

А что с расстояниями?

$OL=\sqrt{O{D}^2-O{F}^2}=\sqrt{{100}^2-{40}^2}=\sqrt{10000-1600}=92$

Расстоянию OI=92 по линейке Бродяги соответствует расстояние OD=100 по линейке Домоседа. Домосед видит, что Бродяга проехал 100 км, а по линейке самого Бродяги только 92.

$OG=\sqrt{O{D}^2-O{J}^2}=\sqrt{{100}^2-{80}^2}=\sqrt{10000-6400}=60$

То есть, если бы Бродяга ехал быстрее, то по его измерению пройденное расстояние было бы ещё меньше.

В итоге получается, что чем быстрее двигается наблюдатель, тем медленнее идут его часы и короче пройденный путь по сравнению с неподвижным наблюдателем. Догнать поезд (свет) при разгоне не получится — не хватит ни времени, ни пройденного расстояния, поезд всё равно будет уходить.

Вы видели из окна, как соседний поезд отправляется от остановки, а когда в окне появляется столб, оказывается, что это наш поезд тронулся, а соседний стоит? Когда ускорение незаметно, каждый наблюдатель вправе считать что он неподвижен, а весь мир двигается. Так и Бродяга в своём автомобиле может считать что он в покое, а весь мир летит ему навстречу. Нарисуем диаграмму с его точки зрения:

Рис. 8. Диаграмма Минковского с точки зрения Бродяги.

Когда для Бродяги прошел 1 час по оси t₂, поезд пришел в точку A, а Домосед отстал в точке B. Для Домоседа прошло время

$OB=\sqrt{O{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{(-40{)}^2-{100}^2}=\sqrt{1600-10000}=92\sqrt{-1}=92i$

Теперь наоборот, Бродяга видит что для него прошло 100 единиц времени, а для Домоседа меньше, 92. И кто из них прав? Чьё измерение настоящее? Теория относительности отвечает что оба правы, оба измерения настоящие. Всё относительно. Абсолютной правды нет…

И снова

$OA=\sqrt{O{D}^2-O{E}^2}=\sqrt{{100}^2-{100}^2}=0$

- самый зрительно длинный из отрезков, посчитанный по формулам расстояния в пространстве Минковского, имеет длину 0! Именно так, «не верь глазам своим». Оказывается, эта геометрическая модель не такая уж и наглядная, рассуждая по ней надо всегда помнить что расстояния и углы она показывает неправильно! Подробнее о вычислении углов можно прочесть у А.А. Сазанова.

Надо сказать, что других геометрических моделей для изображения формул теории относительности я не встречал. Собственные попытки создать модель, которая показывала бы правильные соотношения не удались, оказалось что это вовсе невозможно. Это и убедило меня в том, что теория относительности ошибочная, ведь если процессы, происходящие в действительности, невозможно изобразить рисунком ни на какой схеме, значит, формульная связь между процессами и рисунком построена неправильно, потому что в действительном мире взаимосвязано всё и значит, действительные события должны быть связаны с рисунками без ошибок. Релятивисты отвечают что формулы правильные, а понимать рисунки это дело привычки. Что ж, посмотрим.

К чему приводят рассуждения в пространстве Минковского? Обсудим i в длинах.

Противоречие 1.

Найдём длину отрезка OE на рисунке 7. OE_x и OE_t это проекции отрезка на оси координат.

$OE=\sqrt{O{E}_x^2-O{E}_t^2}=\sqrt{0^2-{100}^2}=100\sqrt{-1}=100i$

Длина мнимая. А.А. Сазанов на стр. 69 говорит что длины действительного и мнимого вектора «выражаются числами различного характера». По определению любое комплексное число это два действительных, взятых в определенном порядке. В частности,

$i=\sqrt{-1}=(0,1)$.

Длина отрезка OE равна паре вещественных чисел (0,1). Но как это понимать? Ведь у отрезка только одна длина и её невозможно измерить дважды разными способами чтобы получить два результата измерений. Здесь противоречие. Говоря строго, по аксиоме пространства через две разные точки пространства можно провести прямую и только одну. А если прямая одна, то и её часть между двумя точками тоже только одна и у неё только одна длина, потому что прямая и отрезок, как часть прямой, это одномерные объекты, у них нет ни толщины ни ширины, а только длина, только одно измерение.

«В настоящее время применение вещественных чисел в геометрии основано на взаимно однозначном соответствии между вещественными числами и точками прямой линии. Для установления этого соответствия следует задать на прямой начальную точку О и положительную ориентацию: тогда каждой точке М прямой ставится в соответствие вещественное число...» (Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М., 1966, стр. 16). На прямой не может лежать отрезок невещественной длины.

Суть ошибки: равенство OE=(0,1) значит, что между точками O и E есть два разных отрезка с разными длинами, что противоречит аксиоме пространства Минковского. Таким образом, пространство Минковского определено некорректно.

Вам не верится, конечно. «Не могут же все ошибаться!!!».

Противоречие 2.

Тогда давайте посмотрим на дело с другой стороны. Отвлечемся от поездов, автомобилей и наблюдателей, посмотрим на схему «в чистом виде». Пусть в пространстве Минковского определены две оси, x и it (рис. 9). Буква i, приписанная к t, напоминает, что расстояния по оси t мнимые потому что расстояние между двумя любыми точками r²=x²-t².

Рис. 9. Пространство Минковского с системой координат.

Добавлено 17.05.2024:

«...ds²=c²dt²-dx²-dy²-dz² (2.4).

Форма выражения … (2.4) позволяет рассматривать интервал, с формальной математической точки зрения, как расстояние между двумя точками в воображаемом четырехмерном пространстве (на осях которого откладываем x,y,z и произведение сt). Имеется, однако, существенное отличие в правиле составления этой величины по сравнению с правилом обычной геометрии: при образовании квадрата интервала квадраты разностей координат по различным осям суммируются не с одинаковыми, а с различными знаками» [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II. Теория поля.- 7-е изд., испр.-М.Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1988. 512 с. ]

Для некоторой точки, названной it₁, расстояние от начала координат будет i·t₁ (рис. 10).

Рис. 10. Соответствие времени месту.

Но ничто не мешает умножить i·t₁ на i, так получится величина i·i·t₁= -t₁. А эта величина реальная, а не мнимая и поэтому на мнимой оси лежать не может, её будет выражать вектор на реальной оси, здесь такая ось только одна, это x. Вектор -t₁ лежит на ней слева от нуля.

И в тригонометрической записи комплексного числа умножение на i поворачивает вектор на 90 градусов. Меняет аргумент, не меняя модуль.

А вектор +t₁, тоже реальный, будет лежать справа от нуля. Там же будет и вектор t₂ и т.д. Все концы векторов t при -∞ < t < +∞ образуют ось Ot, совпадающую с Ox, потому что другого места для Ot в двумерном пространстве нет. Отсюда следует, что точке x₁ пространства соответствует только один момент времени t₁, точке x₂ только момент t₂ и т.д. Таким способом геометрическая модель Минковского утверждает, что в реальности время в каждой точке пространства остановилось.

Очевидно, пространство Минковского не соответствует действительности.

Противоречие 3.

Каждая точка модели, например, точка Q, изображает событие, произошедшее в определенном месте и в определенное время. Момент времени, в который произошло событие, определяется проекцией it₃ из точки Q на ось времени it. Реальное время этой точки t₃. Таким же образом, проекцией на ось x, определяется место события, это x₃. Но проекция на x это и проекция на t, показывающая что событие произошло в момент t₄, причем, не обязательно t₃=t₄. Модель утверждает, что одно и то же событие Q произойдёт в момент времени t₃ по мнимой оси координат и в момент t₄ по реальной оси. Но одно событие в действительности не происходит в разные моменты времени. Если я перешел улицу сегодня в 8 часов утра и в том же месте завтра в 8 часов утра, то это будут, хотя и похожие, но разные события, а не одно и то же.

Модель и в этом противоречит действительности.

Замечание. Если пространство на самом деле не двумерное, а трехмерное и в нём можно разместить три оси координат — действительную ось x, мнимую it и действительную t, тогда оси x и t образуют прямоугольную систему координат обычной евклидовой плоскости и в теореме Пифагора там будет «+», тогда между временем t и расстоянием x получатся обыкновенные соотношения, никак не объясняющие опыт Майкельсона и Морли.

Противоречие 4.

Если в двумерном пространстве Минковского два независимых наблюдателя определят каждый свою систему координат, то возможно, что длина некого отрезка AB в одной системе будет посчитана как реальная, а в другой как мнимая.

Рис. 11. Разные системы координат в одном пространстве и длина отрезка AB.

Останется снова вспомнить аксиому, согласно которой две точки A и B соединяет только единственный отрезок, а значит, по-разному посчитанные длины обязаны быть равны. Тогда 1=i, а это явная ошибка.

Эта ошибка проявляется утверждением релятивистов о разных измеряемых величинах одного объекта в зависимости от наблюдателя, с чем никак не могут согласиться философы. Теперь понятно, что правильно они не соглашаются.

Из показанных противоречий следует вывод: псевдоевклидово пространство Минковского с минусом в теореме Пифагора противоречит и само себе и действительности. По этой причине рассуждения, сделанные на этом пространстве как на модели и полученные из них выводы, бессмысленны.

Причина ошибки.

Выше показано: предположение, что пространство Минковского является геометрической моделью действительности, ошибочно. В чём причина ошибки?

Псевдоевклидово пространство отличается от евклидова мнимыми расстояниями. Очевидно, ошибка связана с мнимостью, поэтому для ответа на вопрос надо рассмотреть именно её. Но понятие мнимого числа вводится на основании понятия о числе отрицательном, поэтому тут придется исходить из самых изначальных соображений.

Дети, автор судит по своим воспоминаниям, числом называют количество целых предметов, например, яблок. Поэтому, впервые встречаясь с отрицательными числами, например, -3 яблока, естественно считают их ошибкой - «Так не бывает!».

«Сталкиваясь с необходимостью вычитать из меньшего числа большее, древние математики истолковывали решение как недостаток некоторого количества, но само это количество выражали положительным числом. У них не было числа, которым можно выразить результат такого, например, действия: 2-5=... И когда они получали при решении уравнения отрицательный корень, то просто отбрасывали его, как недопустимый.» [А.А.Сазанов, стр. 46].

И это верно, если говорить только о количестве — в самом деле невозможно отдать 5 яблок, если их есть только 2. Но если считать вместо яблок, например, шаги, то пройти +2-5 шагов очень просто — надо после второго шага повернуться в направлении, противоположном начальному. В итоге получится -3 шага от начального положения.

Расстояние, например, 5 шагов, выражается количеством и оно одинаковое в любую сторону. Оно не выражается «положительным числом», потому что знака не имеет вовсе, понятие количества это ещё не число, а только количество.

А «отрицательность» или «положительность» это понятие направления — изменения количества в сторону меньше или больше.

Добавив к беззнаковому понятию количества понятие направления, выражаемое знаком, мы получим понятие числа. Не бывает числа без знака. 5 яблок без знака это только количество, а +5 яблок это уже число. С таким обобщением становятся понятными и -3 яблока: если +3 пришли в направлении ко мне, например, я их сорвал с дерева, то -3 это такое же количество, которое надо отдать, то есть, долг.

Геометрически число выражается вектором. Его длина изображает количество, а направление показывает знак.

Выяснив, что число вообще, в том числе и отрицательное, состоит из количества и направления, можно рассмотреть мнимые числа.

У А.А. Сазанова на стр. 49 читаем:

«От Леонарда Эйлера идет обычай обозначать символ $\sqrt{-1}$ буквой i (начальной буквой французского слова «imaginaire» - мнимый, воображаемый):

$\sqrt{-1}=i$.

Этот символ называют «мнимой единицей». Тогда для квадратного корня из произвольного отрицательного вещественного числа получаем обозначение

$\sqrt{-y^2}=iy$,

называемое «мнимым числом y».

В этом названии отразилось то представление, что корень квадратный из отрицательного числа не является числом «в реальном смысле», что с символом $\sqrt{-y^2}=iy$если и связывается какое-либо понятие о числе, то о числе «не настоящем», «выдуманном», «в действительности не существующем». «Выдумка» в данном случае отстоит гораздо дальше от «реальности», подтверждаемой внешней видимостью, чем выдумка иррациональных чисел. Каждому иррациональному числу по крайней мере соответствует определенная точка на координатной оси, а для мнимого числа не удается найти никакого геометрического истолкования или применения. Длины любых отрезков в чувственно воспринимаемом пространстве выражаются вещественными числами и нет такого отрезка, для выражения длины которого потребовалось бы мнимое число».

Так ли совсем нет геометрического истолкования мнимого числа? Теория функций комплексного переменного (ТФКП), см. напр., [Дубровин В.Т. Теория функций комплексного переменного. Теория и практика. Учебное пособие. Казань, 2010., стр. 5], говорит:

«Любое комплексное число z=x+iy изображается точкой плоскости с координатами (x, y), и эта точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые - точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат - мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной числовой плоскостью (обозначение: C). Комплексное число z изображается также вектором с началом в точке O и концом в точке z.»

Оказывается, для комплексного числа есть совершенно ясное геометрическое истолкование.

«Тот факт, что длина вектора e₂ равна мнимой единице, не может найти адекватного геометрического выражения на рисунке, поскольку в собственно евклидовой плоскости нет векторов мнимой длины.». [А.А. Сазанов, стр. 69]

А какая длина у мнимых векторов в евклидовой плоскости? Например, у мнимой единицы?

[В.Т.Дубровин, стр. 6]: В ТФКП длина вектора, изображающего i на комплексной плоскости, равна 1.

Оказывается, мнимую единицу $i=\sqrt{-1}$ можно выразить вектором и с длиной 1 и с длиной иного характера? Не выбирать же то, что больше нравится... Как же именно связана мнимость числа с длиной его вектора? Для ответа на этот вопрос нужно выяснить чем выражается мнимость.

Понятие мнимости числа основано на понятии отрицательности. Отрицательность числа значит направление, противоположное положительному. Геометрически знак «-» это поворот вектора, изображающего число, вокруг начала координат на половину целого оборота, на 180º (рис. 12).

Рис. 12. Поворот вектора на половину целого оборота.

Если сделать два поворота подряд по 180º каждый, получится целый оборот. Арифметика записывает это действие как -(-1)=1 «минус на минус даёт плюс».

Выражение $i^{2}1=ii1=-1$ значит, что применение i к вектору 1 дважды подряд равно повороту на 180º (рис. 13). Тогда применение i один раз это поворот вектора на 90º? Именно так. Это и есть суть мнимости чисел — они изображаются векторами, повернутыми поперек первоначального направления.

Рис. 13. Поворот вектора на четверти целого оборота.

Теперь становится понятно почему длина вектора i выражается в одном случае 1, а в другом числом «иного характера»: выражение мнимости единицы длиной вектора вообще ошибочно. i не длина, не количество и не число, а знак поворота вектора и это понятие одного рода со знаками «+» и «-». «+» поворачивает вектор на 0º, «-» на 180º, а i на 90º.

В псевдоевклидовом пространстве Минковского с минусом в теореме Пифагора квадрат длины вектора на оси it получается отрицательным. Чтобы из квадрата найти длину надо извлечь квадратный корень из -1, получится мнимый вектор, но его мнимость при извлечении корня ошибочно выразили длиной, а надо было выражать мнимость направлением, оставив длину действительной, ведь если мнимость уже выражена направлением вектора, то для чего приписывать мнимость ещё и длине? Нет такой нужды. Т.н. «мнимые» расстояния, «иного характера», несравнимые с действительными, неизмеримые «чувственно воспринимаемыми» инструментами, есть введение (лишней) сущности без необходимости. Мнимых расстояний вовсе нет, есть мнимые направления.

При таком понимании нет противоречия 4: оба наблюдателя получат одинаковую длину отрезка AB, а вот направления отрезка будут разные — одно реальное, а другое мнимое, в зависимости от направлений осей координат.

Операция извлечения квадратного корня из отрицательной единицы это не изменение «характера» длины вектора, а его поворот на 90º.

«Мнимость» длин и есть та самая ошибка, приведшая к пространству Минковского, не связанному с реальностью.

Это высота пизанской башни, измеренная в градусах отклонения от вертикали.

«Мнимость» длин это то же самое заблуждение, что древняя «недопустимость» отрицательных чисел, по сути, это выведение их из реальности. «Недопустимость» отрицательных чисел древних математиков возродилась теперь «мнимостью» длин нереального, «различного характера». Разве у отрицательных чисел тоже нереальные длины, с характером, «различным» с положительными числами? Нет, конечно. Длины отрицательных векторов реальны, они не меняются при поворотах. На самом деле, как отрицательность числа выражается не длиной, а направлением, так же направлением выражается «мнимость» совершенно реальных векторов с реальной длиной.

Но тогда i и не вектор, потому что скалярный квадрат вектора это квадрат его длины,$|\overrightarrow{i}{|}^2=i^2$, а i не число и длину не выражает.

Вообще, равенство $i^2=-1$ ошибочное, хотя выглядит «интуитивно справедливым» для скаляров. Запись $i^2=-1$ бессмысленна безусловно, потому что справа от знака равенства написано число, а слева числа нет, получается сравнение разнородных понятий. Лишь выражение $i^2\overrightarrow{1}=-\overrightarrow{1}$ является безусловно справедливым и именно в векторной форме. Ошибка возникла потому, что первоначально «мнимые» числа возникли из скаляров, которые всюду неявно умножены на единичный вектор, а в арифметике есть смысл опускать множитель 1, если он в выражении не единственный. Так и сделано по привычке: при $i^2$ единицу не пишут потому, что она там не единственный множитель, а векторы не указывают потому, что в арифметике все величины скаляры, а постоянно напоминать что скаляры тоже векторы, хоть и одномерные, так же необязательно, как и указывать множитель 1. В итоге i оставили без единичного вектора, единственной буквой слева (а по привычке буквами латинского алфавита изображают числа) и так из знака поворота вектора превратили в длину, в число, сделав подмену понятий.

Исторически сначала возникли только положительные числа. Действие, обратное сложению - вычитание - заставило расширить множество натуральных чисел, замкнутое относительно операции сложения и добавить к натуральным отрицательные числа. Действие, обратное умножению, деление, заставило расширить множество целых чисел, замкнутое относительно операции умножения и ввести в рассмотрение дробные числа. Действие по взятию квадратного корня из отрицательного числа заставляет расширять множество одномерных чисел многомерными векторами, при этом одномерные действительные числа выражают расстояния в каждом измерении. Математический смысл «мнимых», а лучше теперь говорить «поперечных», чисел в том, что они выводят понятие числа из одномерной числовой прямой в многомерное пространство, как минимум, в плоскость. Длины векторов, изображающих числа, при поворотах никак не меняются и остаются действительными.

Вообще, число всегда имеет знак, то есть, содержит в себе направление, поэтому число это изначально вектор.

А мнимые расстояния на самом деле не являются ничем в реальном смысле, тут А.А.Сазанов полностью прав.

Заключение.

Мы выяснили, что считать i числом или вектором это ошибка. Понятие мнимости возникает из понятия отрицательности, поэтому оба выражаются не длиной, а направлением соответствующего числу вектора. i это знак поворота вектора перпендикулярно первоначальному положению. И вектор надо записывать не $\overrightarrow{i}$, а $i\overrightarrow{1}$.

«Мнимые» числа воспринимаются «нереальными» потому, что мы привыкли к изменениям реальных чисел в стороны только «меньше» или «больше», а эти изменяются «вбок». Поперечные числа лежат не на вещественной числовой оси, а поперек неё и уже там, в поперечном направлении, их изменение привычное, + или -. Однако, суть и поперечных и вещественных чисел одна, поэтому они образуют однородное множество и увязывает их все воедино логика действия по извлечению квадратного корня из отрицательной величины. Этот, более широкий взгляд, заставляет говорить что все числа есть свободно вращаемые векторы.

$i\overrightarrow{1}$ - поперечная единица.

Выражение $i^2\overrightarrow{1}=-\overrightarrow{1}$ верно и применимо в любом случае в векторной форме. Смысл выражения в том, что поворот i, дважды примененный к положительному единичному числу, делает его отрицательным единичным.

При применении i только к скалярам ошибка не проявляется потому, что i всюду неявно умножается на единичный вектор. Поперечные числа повернуты на 90º относительно вещественных чисел. Однако, теперь даже в скалярных выражениях не стоит писать $i^2=-1$, чтобы не возвращать привычку сравнивать i с числом, для них можно опустить только знаки векторов, записывая $i^{2}1=-1$. Такая форма явно показывает что i не число.

В ТФКП при определении длин комплексных векторов ошибка не проявляется, потому что считают $|\overrightarrow{i}{|}^2=1$. Здесь надо писать $|i\overrightarrow{1}{|}^2=1$.

Пространство Минковского образовали введением минуса в скалярное произведение векторов и, как следствие, один из базисных векторов стал поперечным. Ошибочно сочтя, что мнимость вектора при извлечении квадратного корня надо выражать его длиной, «чувственно не воспринимаемой», этот вектор пришлось сделать перпендикулярным всем остальным действительным векторам, чтобы реальные и мнимые длины «различного характера» не получились пропорциональными. Но на самом деле мнимость числа выражается не длиной вектора, а его поворотом на 90º и от этого поворота никак не избавиться. Он проявился тем, что на рис. 10 векторы it и соответствующий ему t необходимо перпендикулярны и всегда существуют парой, от оси t нельзя отказаться. Поэтому ось t придется или направлять параллельно другой оси системы координат, переменная t будет выражена через другую координату и неотличима от неё или, если в пространстве есть отдельное измерение для оси t, то действительные оси образуют евклидово пространство и все соотношения между векторами действительных переменных будут метрическими, сугубо евклидовыми.

Если ни одну из осей не строить из поперечных чисел, то не будет противоречия 3 с одним событием в разное время.

И не будет противоречия 2, останавливающего время.

Если не выражать одномерную длину двумерными поперечными числами, то не будет двух отрезков между парой точек, не будет противоречия 1. Аксиоматический подход в геометрии об этом говорил всегда: из 5 постулатов Евклида неизбежно логически вытекает «+» в теореме Пифагора, минусу в ней неоткуда взяться. Были бы у нас геометры, не было бы относительности...

Ошибка пространства Минковского в том, что равенство $i^2=-1$, вообще говоря, бессмысленное, но с оговорками только для скаляров намекающее на правильное действие, небрежно повторили как ${\overrightarrow{i}}^2=-1$ для любых многомерных векторов, смешав смыслы длины и поворота. При такой подмене понятий никак не связаны с реальностью ни пространство Минковского, ни рассуждения, построенные на пространстве Минковского как на геометрической модели.

Вывод.

Теперь можно не верить в теорию относительности, а снова пользоваться собственным здравым смыслом.